MODUL 1
BILANGAN BULAT
Gatot Muhsetyo
Pendahuluan
Dalam modul Bilangan Bulat ini diuraikan tentang awal pembahasan
bilangan sebagai kebutuhan hidup manusia, meliputi bilangan asli, bilangan
cacah, dan bilangan bulat. Sebagai obyek matematika, bilangan bulat dan
operasinya dapat membentuk suatu sistem atau struktur. Uraian berikutnya
tentang prinsip induksi matematika sebagai alat pembuktian teorema yang
penggunaannya tersebar luas di dalam berbagai topic matematika.
Sifat-sifat operasi bilangan bulat
diuraikan kembali sebagai dasar pembicaraan berikutnya, meliputi sifat
komutatif, sifat asosiatif, sifat distributif, sifat unsur identitas, sifat inversi,
dan sifat kanselasi.
Pembahasan Induksi matematika dimulai
dengan notasi jumlah dan notasi kali beserta sifat-sifat dan penggunaannya, dan
dilanjutkan penjelasan tentang konsep induksi matematika beserta penerapannya
untuk membuktikan hubungan-hubungan tertentu.
Secara keseluruhan, materi pokok dalam modul
ini meliputi bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, operasi bilangan
bulat dan sifat-sifatnya, prinsip urutan yang rapi, bilangan bulat terbesar,
sedikit uraian tentang bilangan rasional dan bilangan irasional, notasi jumlah
dan notasi kali, dan diakhiri dengan prinsip induksi matematika.
Kompetensi Umum
Kompetensi Umum dalam mempelajari modul
ini adalah mahasiswa mampu memahami konsep bilangan bulat, operasi bilangan
bulat, sistem bilangan bulat, induksi matematikasifat, dan keterkaitan antara
topik-topik bilangan bulat dan induksi matematika.
Kompetensi Khusus
Kompetensi Khusus dalam mempelajari
modul ini adalah mahasiswa mampu menjelaskan konsep bilangan bulat, konsep
operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya, system bilangan bulat, penggunaan notasi
jumlah, penggunaan notasi kali, induksi matematika, serta keterkaitan satu sama
lain untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika tertentu
Susunan Kegiatan Belajar
Modul 1 ini terdiri dari dua Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar
pertama adalah Bilangan Bulat, dan Kegiatan Belajar kedua adalah Induksi
Matematika.. Setiap kegiatan belajar memuat Uraian, Contoh, Tugas dan Latihan,
Rambu-Rambu Jawaban Tugas dan Latihan, Rangkuman, dan Tes Formatif. Pada bagian
akhir modul 1 ini ditempatkan Rambu-Rambu
Jawaban Tes Formatif 1 dan Tes Formatif 2.
Petunjuk Belajar
1. Bacalah
Uraian dan Contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda
benar-benar memahami dan menguasai materi
pembahasan.
2. Kerjakan
Tugas dan Latihan yang tersedia secara mandiri. Jika dalam kasus
atau tahapan tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab, maka pelajarilah
Rambu-Rambu Jawaban Tugas dan
Latihan. Jika langkah ini
belum berhasil
menjawab permasalahan, maka mintalah bantuan tutor Anda,
atau orang lain
yang lebih tahu.
3. Kerjakan Tes Formatif secara
mandiri, dan periksalah Tingkat
Penguasaan
Anda dengan cara mencocokkan
jawaban Anda dengan
Rambu-Rambu
Jawaban
Tes Formatif. Ulangilah
pengerjaan Tes Formatif sampai Anda
benar-benar merasa mampu mengerjakan semua
soal dengan benar.
MODUL 1
KEGIATAN BELAJAR 1
BILANGAN BULAT
Uraian
Pembahasan tentang bilangan bulat
(integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tantang bilangan asli (natural
numbers) dan bilangan cacah (whole members) karena kreasi tentang
bilangan-bilangan ini merupakan proses sosial dan budaya yang berlangsung
berurutan dalam waktu ribuan tahun.
Konsep tentang bilangan dan cara
mencacah (menghitung, counting) berkembang selama sekitar 15.000 tahun, mulai
dari zaman prasejarah (poleolithic, Old Stone Age) sampai dengan zaman sejarah
(sekitar tahun 400 S.M.). Dalam periode atau zaman ini, mereka diduga telah
emmpelajari cara bertani atau bercocok taman, cara berternak, cara
menggunakankaleder, cara mengukur atau menimbang berat, cara memindahkan barang
dengan kereta atau gerobak, cara membuat perahu, cara berburu, cara pengobatan
tradisional, dan cara berhitung.
1. Bilangan Asli
Sejak periode sejarah, diduga dimulai
sekitar tahun 400 S.M., orang melalui memikirkan bilangan sebagai konsep
abstrak. Misalnya, mereka menyebut tiga kerikil dan tiga binatang mempunyai
sifat persekutuan, yaitu suatu kuantitas yang disebut tiga. Sifat persekutuan
tiga ini bisa dimiliki oleh kelompok benda apa saja sehingga sifat ini menjadi
terbatas dari obyek atau sasaran pembicaraan. Dalam istilah yang lebih
sederhana, sifat-sifat persekutuan satuan (oneness), duaan (twoness), atau
tigaan (threeness) merupakan sifat persekutuan yang dimiliki oleh sebarang
kumpulan benda untuk menunjukkan kesamaan kuantitas.
Keperluan
tentang kuantitas merupakan kebutuhan dasar manusia dalam kehidupan berkeluarga
dan bermasyarakat, terutama untuk menghitung (mencacah) dan membandingkan
jumlah barang atau benda.
Keperluan
menghitung (mencacah, counting) mendorong orang untuk mencari cara yang mudah,
antara lain dengan membuat lambang bilangan (muneral) dan cara menggunakannya
(sistem numerasi). Sistem numerasi membuat sekumpulan lambang dasar dan sejumlah
atauran untuk menghasilkan lambang-lambang bilangan yang lain. Beberapa
peradaban yang telah mengembangkan sistem numerasi antara lain adalah Mesir
(sekitar tahun 3000 S.M.), Babylonia (sekitar tahun 2000 S.M.), Yunani atau
Greek (sekitar tahun 600 S.M.), Mayan (sekitar tahun 300 S.M.), Jepang – China
(sekitar tahun 200 S.M.), Romawi (sekitar tahun 100 M), dan Hindu-Arab (mulai
sekitar tahun 300 S.M. di India, mengalami perubahan di wilayah timur tengah
sekitar tahun 750 Masehi, berkembang di Eropa dan dipakai di seluruh dunia
sampai sekarang). Dari uraian di atas kita dengan singkat telah melihat
perjalanan pengembangan konsep bilangan sejak pertama kali pada zaman
Poleolithic sampai pada zaman sejarah. Dengan demikian kita perlu membuat
asumsi bahwa manusia telah menemukan konsep bilangan asli (counting/natural
members) dan telah menemukan himpunan lambang untuk menyatakan konsep
bilangan asli yaitu 1, 2, 3, 4, …
Untuk
selanjutnya himpunan bilangan asli dinyatakan dengan
N = {1, 2, 3, 4, … }
1.
Bilangan Cacah
Untuk kepentingan masyarakat zaman
pertanian, sebelum zaman revolusi, mereka hanya memerlukan mencacah, menjumlah,
dan mengalikan. Seiring dengan perkembangan zaman, mesyarakat memerlukan
sistem bilangan yang dapat memenuhi keperluan lain, yaitu mengurangkan dan
membagi. Dengan demikian mereka mempunyai tuntutan pekerjaan yang tidak
sekedar berhitung (aritmetika) tetapi hal lain yang lebih luas.
Jika sebelumnya
mereka menerima pernyataan tanpa bukti (postulat):
p + q adalah suatu bilangan asli
p x q adalah suatu bilangan asli
maka kesulitan
akan muncul ketika pengertian pengurangan mulai diperkenalkan melalui
penjumlahan:
p – q = r jika
ada r sedemikian hingga p = q + r
Kita bisa
melihat kesulitan itu. Pengurangan pada unsur-unsur hipunan bilangan asli dapat
dilakukan hanya jika p lebih dari q, artinya himpunan bilangan asli tidak
bersifat tertutup terhadap pengurangan. Pada awalnya tentu mereka memahami
bahwa:
3 – 2 = 1, 4 – 3 = 1, 5 – 4 = 1
dan mulai
mempertanyakan bagaimana dengan
3 – 3 = ? , 4 – 4 = ?, 5 – 5 = ?
Jawabannya
adalah mereka perlu “tambahan” bilangan baru, yang kemudian disebut dengan nol
(zero), yang diberi makna:
3 = 3 + 0, 4 = 4 + 0, 5 = 5 + 0
Sekarang kita
telah menambahkan unsur baru 0 ke dalam sistem bilangan asli, sehingga
diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dinyatakan
dengan:
W = {0, 1, 2, 3, 4, …}
3.
Bilangan Bulat
Dengan berkembangnya masyarakat
industri, manusia memerlukan bilangan untuk keperluan pembukuan tingkat
lanjut, antara lain untuk menghitung hutang dan pihutang, serta tabungan dan
pinjaman. Pertanyaan yang muncul serupa dengan permasalahan:
6 – 7 = ?, 8 – 10 = ?, 3 – 10 = ?
Permasalahan ini
serupa dengan usaha menambah bilangan-bilangan baru di dalam W sehingga mereka
dapat melakukan semua pengurangan, atau himpunan baru yang diperoleh
bersifat tertutup terhadap pengurangan.
Jawaban terhadap
kesulitan mereka adalah tambahan bilangan-bilangan baru yang diperoleh dari:
0 – 1, 0 – 2, 0 – 3, 0 –
4, …
yang kemudian
dilambangkan dengan:
-1, -2, -3, -4, …
sehingga
diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan bulat, dan dinyatakan
dengan:
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2,
3, …}
Dengan digunakannya garis bilangan untuk menyatakan
representasi bilangan, dan memberi makna terhadap bilangan-bilangan di sebelah
kanan nol sebagai bilangan positif serta di sebelah kiri nol sebagai bilangan
negatif, maka himpunan bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai:
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2,
3, …}
4.
Sistem Bilangan Bulat
Untuk keperluan menghitung, orang
dapat melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian bilangan.
Apa yang dilakukan oleh orang itu kemudian disebut sebagai suatu operasi.
Pada dasarnya suatu operasi adalah mengambil sepasang bilangan untuk
mendapatkan bilangan lain yang tunggal. Bilangan yang diperoleh mungkin unsur
atau bukan unsur dari himpunan tertentu.
Definisi 1.1
Suatu
sistem matematika adalah suatu himpunan bersama-sama dengan satu atau lebih
operasi pada himpunan itu.
Notasi
Suatu
sistem matematika yang terdiri dari himpunan S dan operasi * ditunjukkan dengan
(S, #)
Jika
# adalah operasi kedua S, maka (S, *,
#) adalah sistem matematika yang
terdiri dari himpunan S, operasi pertama *, dan operasi kedua #.
Berdasarkan pengetahuan
yang telah kita pelajari sebelumnya, beberapa definisi yang terkait dengan
sifat operasi adalah:
Definisi 1.2
Ditentukan bahwa * adalah suatu
operasi pada himpunan S.
Operasi * disebut bersifat:
a.
tertutup jika p * q = r dan r Î S untuk setiap p, q Î S.
b.
komutatif jika p * q = q * p untuk setiap p, q Î S
c. assosiatif
jika p * (q * r) = (p * q)*r untuk setiap p, q, c Î S
d. mempunyai
unsur identitas jika untuk semua p Î S, ada i Î S,
sehingga p * i
= i * p = p . I disebut unsur identitas
operasi *.
e.
memenuhi sifat inversi (invertibel) jika untuk semua pÎ S,
ada x Î
S,
sehingga p * x = x * p = i. x disebut inversi dari p, dan p disebut
inversi
dari x.
Definisi 1.3
Ditentukan bahwa * adalah suatu operasi pertama dan ⋕ adalah suatu
operasi kedua pada himpunan S.
Operasi * bersifat distributif terhadap # jika
P * (q #r)
= (p * q) # (p * r) untuk
semua p, q, r Î
S.
Selanjutnya,
sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat
merupakan aksioma, yaitu:
1. tertutup : p + q Î Z dan p x q Î Z untuk semua p, q, Î Z
2. komutatif : p + q = q +
p dan p x q = q x p untuk semua p, q Î Z
3. assosiatif : p + (q + r)
= (p + q) + r dan p x (q x r) = (p x q) x r untuk
semua p, q, r Î Z
4. mempunyai unsur identitas
p + 0 = p
dan p x 1 = p untuk semua p Î Z
5. memenuhi sifat identitas penjumlahan:
untuk semua
p Î
Z, ada 0 Î
Z sehingga p + 0 = 0 + p = p
0 adalah
unsur identitas penjumlahan
6. memenuhi sifat inversi (invertibel)
penjumlahan:
untuk semua
p Î
Z, ada x Î
Z sehingga p + x = x + p = 0
x disebut
inversi dari p, ditunjukkan dengan x = -p
7. distributif perkalian terhadap
penjumlahan
(p + q) . r
= p . r + q . r
8. memenuhi hukum kanselasi:
jika p, q, r
Î
Z, r ¹
0, dan pr = qr, maka p = q
Dalam kaitannya
dengan urutan bilangan bulat, kita akan menggunakan himpunan bilangan bulat
positif {1, 2, 3, …}, untuk menyatakan hubungan lebih kecil (atau lebih besar)
antara dua bilangan bulat.
Definisi 1.4
Ditentukan p, q, Î Z
p disebut kurang dari q (atau q disebut lebih dari p), ditulis p < q atau
q > p, jika ada suatu bilangan bulat positif r sehingga q – p = r
Contoh 1.1
(a). 5 > 4 sebab ada bilangan bulat positif
1 sehingga 5 – 4 = 1
(b). 2 < 7 sebab ada bilangan bulat positif
5 sehingga 7 – 2 = 5
(c). p > 0
untuk setiap p Î
{1, 2, 3, …} sebab ada bilangan bulat positif p
sehingga p – 0 = p
Dua sifat dasar
tentang urutan bilangan bulat yang perlu untuk dipahami adalah:
(1) ketertutupan bilangan bulat positif:
p + q dan pq
adalah bilangan-bilangan bulat positif untuk semua bilangan-
bilangan bulat
positif p dan q
(2) hukum trikotomi
Untuk setiap p Î Z
berlaku salah satu dari p > 0, p = 0, atau p < 0.
Himpunan
bilangan bulat disebut suatu himpunan yang terurut karena Z mempunyai
suatu himpunan bagian yang tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian, serta memenuhi hukum trikotomi
untuk setiap bilangan bulat
Contoh 1.2
Buktikan: Jika p
< q dan r > 0, maka pr < qr
Bukti:
Diketahui bahwa
p < q, maka menurut definisi 1.4, q – p > 0. Selanjutnya, karena q – p
> 0 dan r > 0, maka menurut sifat dasar ketertutupan perkalian urutan
bilangan bulat positif, r (q – p) > 0. Menurut sifat distributif, r(q – p) =
rq – rp, dengan demikian r(q – p) > 0 berakibat rq – rp > 0.
rq – rp > 0,
menurut definisi 1.4, rp < rq, dan menurut sifat komutattif perkalian, pr
< qr.
Contoh 1.3
Buktikan: (–1)p
= –p
Bukti: (–1)p
+ 1.p = (-1 + 1).p = 0, dan –p + p = -p + 1.p = 0, sehingga
(-1)p + 1.p
= -p + 1.p. Berdasarkan hukum kauselasi, (-1)p = -p
Contoh 1.4
Sistem (Z, Æ),
yaitu sistem bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, merupakan suatu grup,
dan juga merupakan grup Abel sebab operasi Æ
terhadap bilangan bulat memenuhi sifat-sifat terhadap assosiatif, mempunyai
unsur identitas, dan memenuhi sifat inversi.
Prinsip Urutan Yang Rapi (Well Ordering
Principle)
Suatu himpunan H disebut terurut rapi (well ordered) jika setiap
himpunan
bagian dari H yang tidak kosong
mempunyai unsur terkecil
Perlu diingat
kembali bahwa k disebut unsur terkecil suatu himpunan S jika k kurang dari atau
sama dengan x untuk setiap x
S.
Contoh 1.5
(a) S = {2,5,7} mempunyai unsur terkecil
2 sebab 2 ≤ x untuk setiap x
S, yaitu
2 ≤ 2, 2 ≤ 5, dan 2 ≤ 7
(b) M = {3}
mempunyai unsur terkecil 3 sebab 3 ≤ x
untuk setiap x
M, yaitu
3 ≤ 3
Contoh 1.6
(a) S = {2,5,7}
adalah himpunan yang terurut rapi sebab setiap himpunan bagian
dari
S yang tidak kosong, yaitu {2}, {5}, {7}, {2,5}, {2,7}, {5,7} dan {2,5,7}
mempunyai unsur terkecil berturut-turut adalah 2,5,7,2,2,5, dan
2.
(b) Z+
adalah himpunan yang terurut rapi sebab tidak ada himpunan bagian dari Z+
yang tidak kosong dan tidak
mempunyai unsur terkecil
(c) Z adalah
himpunan yang tidak terurut rapi sebab ada himpunan bagian dari Z
yang tidak kosong dan tidak mempunyai unsur
terkecil, misalnya {0,-1,-2,…}
Definisi 1.5
Bilangan riil terbesar [x] adalah
bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama
dengan x, yaitu [x] adalah bilangan
bulat yang memenuhi [x] ≤ x ≤ [x] + 1
Sebagai catatan
perlu diingat kembali bahwa Fungsi f(x) = [x] disebut dengan fungsi bilangan
bulat terbesar, atau juga disebut dengan fungsi lantai (floor function). Fungsi
g(x) =
disebut fungsi
atap (ceiling function), dimana
adalah bilangan
bulat terkecil lebih dari atau sama dengan x, misalnya
dan
Suatu bilangan
riil x disebut rasional jika dan
hanya jika ada bilangan-bilangan bulat a dan b, b
0, dan x = a/b. Suatu bilangan yang tidak rasional
disebut bilangan irasional, misalnya
log 5 ,
, bilangan e = 2,71828…, dan bilangan
= 3,14…
Contoh 1.7
(a) [2/3] = 0 ,
[7/3] = 2 , dan [
] = 3
(b) [ – 2/3]
= – 1 , [ –7/3] = – 3
(c) [1,3] = 1, [
] = 1
Tugas dan Latihan
Tugas
Untuk memperluas
wawasan Anda tentang sistem numerasi, carilah dan bacalah sumber-sumber pustaka
yang memuat sejarah bilangan. Selanjutnya jawablah beberapa pertanyaan berikut
1. Apa maksudnya sistem numerasi bersifat
aditif?
2. Apa yang disebut dengan sistem numerasi
menggunakan nilai tempat?
3. Apa maksudnya sistem numerasi bersifat
multiplikasi?
4. Sebutkan beberapa cara menuliskan
lambang bilangan dan terjadi pada sistem
numerasi yang mana.
5. Sebutkan basis-basis bilangan yang
pernah digunakan.
2. Latihan
Untuk
memperdalam pemahaman Anda tentang materi bilangan bulat, kerjakanlah soal-soal
latihan berikut:
1. Tunjukkan bahwa –(p + q) = (– p) + (–
q) untuk semua p, q Î
Z
2. Tunjukkan bahwa – (p.q) = p . (-q)
untuk semua p, q Î
Z
3. Diketahui p, q, r Î Z, p
< q, dan r < 0
Buktikan: p + r < q + r
4. Diketahui p, q, r Î q, p
> q dan q > r
Tunjukkan: p > r
5. Diketahui C = {1, -1}
Selidiki apakah (C, x) merupakan
sistem grup:
Rangkuman
Berdasarkan
seluruh paparan pada Kegiatan Belajar 1 ini, maka garis besar bahan yang
dibahas meliputi Definisi, Teorema, Contoh, dan Latihan tentang bilangan bulat,
terutama tentang konsep bilangan bulat, sistem bilangan bulat, operasi bilangan
bulat dan sifat-sifatnya, dan aksioma sifat-sifat operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan bulat. Paparan kemudian dilanjutkan dengan prinsip urutan
yang rapi serta hubungan dua bilangan bulat (sama dengan, lebih dari, kurang
dari), dilengkapi dengan pengertian bilangan bulat terbesar, fungsi lantai, dan
fungsi atap. Pada bagian akhir diingatkan kembali pengertian bilangan rasional
dan bilangan irasional.
1. Himpunan
bilangan bulat dinyatakan dengan Z = { …,-2,-1,0,1,2,…}
2. Definisi 1.1
Suatu
sistem matematika adalah suatu himpunan bersama-sama dengan
satu atau lebih operasi pada himpunan itu.
3. Definisi 1.2
Ditentukan bahwa * adalah suatu
operasi pada himpunan S.
Operasi * disebut bersifat:
a.
tertutup jika p * q = r dan r Î S untuk setiap p, q Î S.
b.
komutatif jika p * q = q * p untuk setiap p, q Î S
c.
assosiatif jika p * (q * r) = (p * q)*r untuk setiap p, q, c Î S
d. mempunyai unsur identitas jika untuk
semua p Î
S, ada i Î
S,
sehingga p
* i =
i * p = p . I disebut unsur identitas operasi *.
4. Definisi 1.3
Ditentukan
bahwa * adalah suatu operasi pertama dan ⋕
adalah suatu
operasi
kedua pada himpunan S.
Operasi * bersifat distributif
terhadap # jika
P * (q #r)
= (p * q) # (p * r) untuk
semua p, q, r Î
S.
4. Definisi
1.4
Ditentukan p, q, Î Z
p disebut kurang dari q (atau q
disebut lebih dari p), ditulis p < q
atau
q > p, jika ada suatu
bilangan bulat positif r sehingga q – p = r
5. Definisi
1.5
Bilangan riil terbesar [x]
adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau
sama dengan x, yaitu [x] adalah bilangan bulat
yang memenuhi
[x] ≤ x ≤ [x] + 1
6. Prinsip Urutan Yang Rapi (Well Ordering
Principle)
Suatu himpunan H disebut terurut rapi (well ordered) jika setiap
himpunan
bagian dari H yang tidak kosong
mempunyai unsur terkecil
Tes Formatif 1
1. Skor 10
Jika a,b,c
Z, maka buktikan bahwa ac < bc
2. Skor 10
Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat
positif kurang dari 1
3. Skor 10
Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut
terurut rapi
(a) A = {-2,3,4}
(b) B = {2/3,2,
}
(c) Himpunan bilangan bulat negative
(d) himpunan bilangan cacah
(e) himpunan rasional
(f) himpunan bilangan riil
4. Skor 10
Carilah nilai-nilai dari :
(a) [0,12]
(b) [7/9]
(c) [5
]
(d) [-1
]
5. Skor 20
Jika k adalah suatu bilangan bulat, maka
buktikan bahwa :
[x + k] = [x] + k untuk setiap bilangan
riil x
6. Skor 10
Carilah nilai [x] + [-x] jika x adalah
suatu bilangan riil
7. Skor 20
Buktikan bahwa [x] + [x +
] = [2x] jika x adalah suatu bilangan riil
8. Skor 10
Buktikan bahwa
adalah suatu
bilangan irasional.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar