MODUL 3
KONGRUENSI
Gatot Muhsetyo
PENDAHULUAN
Dalam modul Kongruensi ini diuraikan
tentang sifat-sifat dasar kongruensi, keterkaitan kongruensi dengan fpb dan
kpk, sistem residu yang lengkap dan system residu yang tereduksi, teorema
Euler, teorema kecil Fermat, dan teorema Wilson.
Kongruensi merupakan kelanjutan dari
keterbagian, dan didefinisikan berdasarkan konsep keterbagian. Dengan demikian
penjelasan dan pembuktian teorema-teoremanya dikembalikan ke konsep
keterbagian. Bahan utama kongruensi adalah penggunaan bilangan sebagai modulo,
dan bilangan modulo ini dapat dipandang sebagai perluasan dari pembahasan yang
sudah ada di sekolah dasar sebagai bilangan jam, dan pada tingkat lebih lanjut
disebut denga bilangan bersisa.
Dengan bertambahnya uraian tentang
sistem residu, pembahasan tentang kongruensi menjadi lebih lengkap sebagai
persiapan penjelasan teorema Euler, teorema kecil Fermat, dan teorema Wilson,
serta bahan penerapan yang terkait dengan teorema-teorema kongruensi dan teorema
Euler.
KOMPETENSI UMUM
Kompetensi umum dalam mempelajari modul
ini adalah mahasiswa mampu memahami konsep kongruensi, penerapannya, hubungannya dengan konsep keterbagian, pengembangannya dalam system residu, dan
peranannya dalam penjabaran teorema Euler, teorema kecil Fermat, dan teorema Wilson.
KOMPETENSI KHUSUS
Kompetensi khusus dalam mempelajari
modul ini adalah mahasiswa mampu menjelaskan konsep kongruensi dan
sifat-sifatnya, konsep sistem residu yang lengkap dan sistem residu yang tereduksi,
peranan fpb dan kpk dalam pengembangan
sifat-sifat
kongruensi,
pembuktian dan penerapan teorema Euler, teorema kecil Fermat, dan teorema Wilson.
SUSUNAN KEGIATAN BELAJAR
Modul 3 ini terdiri dari dua kegiatan
belajar. Kegiatan Belajar pertama adalah Kongruensi, dan Kegiatan Belajar kedua
adalah Sistem Residu. Setiap kegiatan be;lajar memuat Uraian, Contoh/Bukan
Contoh, Tugas dan Latihan, Rambu-Rambu Jawaban Tugas dan Latihan, Rangkuman,
dan Tes Formatif. Pada bagian akhir modul ini ditempatkan Rambu-Rambu Jawaban
Tes Formatif 1 dan Tes Formatif 2.
PETUNJUK BELAJAR
1. Bacalah
Uraian dan Contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga
Anda benar-
benar memahami dan menguasai materi
paparan.
2. Kerjakan
Tugas dan Latihan yang tersedia secara mandiri. Jika dalam kasus atau tahap-
An tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab/menyelesaikan, maka lihatlah Ram-
bu-Rambu
Jawaban Tugas dan Latihan. Jika langkah
ini belum banyak membantu
Anda keluar dari kesulitan, maka mintalah
bantuan tutor Anda, atau orang
lain yang
lebih tahu.
3. Kerjakan
Tes Formatif secara
mandiri, dan periksalah
Tingkat Kemampuan Anda
dengan jalan mencocokkan jawaban Anda
dengan Rambu-Rambu Jawaban
Tes For-
matif. Ulangilah pengerjaan Tes
Formatif sampai Anda
benar-benar merasa mampu
mengerjakan semua soal dengan benar.
MODUL 3
KEGIATAN BELAJAR 1
KONSEP DASAR KONGRUENSI
Uraian
Kongruensi merupakan bahasa teori bilangan karena pembahasan teori
bilangan bertumpu kongruensi. Bahasa kongruensi ini diperkenalkan dan
dikembangkan oleh Karl Friedrich Gauss,
matematisi paling terkenal dalam sejarah, pada awal abad sembilan belas,
sehingga sering disebut sebagai Pangeran
Matematisi (The Prince of Mathematici-
ans). Meskipun
Gauss tercatat karena temuan-temuannya di dalam geometri, aljabar, analisis,
astronomi, dan fisika matematika, ia mempunyai minat khusus di dalam teori
bilangan dan mengatakan bahwa “mathematics
is the queen of sciences, and the theory of numbers is the queen of
mathematics” . Gauss merintis untuk meletakkan teori bilangan modern di
dalam bukunya Disquistiones Arithmeticae
pada tahun 1801.
Secara tidak langsung kongruensi sudah
dibahas sebagai bahan matematika di sekolah dalam bentuk bilangan jam atau
bilangan bersisa. Peragaan dengan menggunakan
tiruan jam
dipandang bermanfaat karena peserta didik akan langsung praktek untuk lebih
mengenal adanya system bilangan yang berbeda yaitu system bilangan bilangan
jam, misalnya bilangan jam duaan,
tigaan, empatan, limaan, enaman, dan seterusnya.
Kemudian, kita telah mengetahui bahwa
bilangan-bilangan bulat lebih dari 4 dapat di “reduksi” menjadi 0, 1, 2, 3,
atau 4 dengan cara menyatakan sisanya jika bilangan itu dibagi dengan 5,
misalnya 13 dapat direduksi menjadi 3 karena 13 dibagi 5 bersisa 3, 50 dapat
direduksi menjadi 0 karena 50 dibagi 5 bersisa 0, dan dalam bahasa kongruensi
dapat dinyatakan sebagai 13 ≡ 3 (mod 5) dan 50 ≡ 0 (mod 5).
Definisi 3.1
Ditentukan p,q,m adalah
bilangan-bilangan bulat dan m 0
p disebut kongruen dengan q modulo m, ditulis p ≡ q (mod m), jika dan
hanya jika
m │ p - q .
Jika m │ p – q maka ditulis p ≡ q (mod m), dibaca p tidak kongruen q
modulo m.
Contoh 3.1
10 ≡ 6 (mod 2)
sebab 2 │ 10 – 6 atau 2 │ 4
13 ≡ -5 (mod 9)
sebab 9 │ 13 – (-5) atau 9 │ 18
107 ≡ 2 (mod 15)
sebab 7 │ (107 – 2) atau 15 │ 105
Teorema 3.1
Jika p dan q adalah bilangan-bilangan
bulat, maka p ≡ q (mod m) jika dan hanya jika
ada bilangan bulat t sehingga p = q + tm
Bukti :
Jika p ≡ q (mod m), maka m │ p – q . Ini
berarti bahwa ada suatu bilangan bulat t se-
hingga tm = p – q, atau p = q + tm.
Sebaliknya, jika ada suatu bilangan
bulat t yang memenuhi p = q + tm,
maka dapat
ditentukan bahwa tm = p – q,
dengan demikian m │ p – q , dan
akibatnya berlaku
p ≡ q (mod m).
Contoh 4.2
23 ≡ -17 (mod 8)
dan 23 = -17 + 5.8
Teorema 3.2
Ditentukan m adalah suatu bilangan bulat
positif.
Kongruensi modulo m memenuhi sifat-sifat
berikut :
(a)
Sifat Refleksif.
Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka p ≡ p (mod m)
(b)
Sifat Simetris.
Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat sedemikian hingga p ≡ q (mod
m),
maka p ≡ q (mod m)
(c)
Sifat Transitif.
Jika p, q, dan r adalah bilangan-bilangan bulat sedemikian hingga p ≡ q
(mod m)
dan q ≡ r (mod m), maka p ≡ r (mod m)
Bukti :
(a)
Kita tahu bahwa m │ 0, atau m │ p – p , berarti p ≡ q
(mod m)
(b)
Jika p ≡ q (mod m), maka m │ p – q , dan menurut
definisi keterbagian, ada suatu
bilangan bulat t sehingga tm = p – q, atau (-t)m = q – p , berarti m │ q – p.
Dengan demikian q ≡ p (mod m)
(c)
Jika p ≡ q (mod m) dan q ≡ r (mod m) , maka m│p – q dan
m│q – r, dan menurut
definisi keterbagian, ada bilangan-bilangan bulat s dan t sehingga sm = p
– q dan
tm = q – r . Dengan demikian dapat ditentukan bahwa p – r = (p – q) + (q – r) =
sm + tm = (s + t)m. Jadi m│ p – r , dan akibatnya q ≡ r (mod m)
Contoh 4.3
5 ≡ 5 (mod 7)
dan -10 ≡ -10 (mod 15) sebab 7│5 – 5 dan 15│-10 – (-10)
27 ≡ 6 (mod 7)
akibatnya 6 ≡ 27 (mod 7) sebab 7│6 – 27
atau 7│(-21)
45 ≡ 21 (mod 3)
dan 21 ≡ 9 (mod 3), maka 45 ≡ 9 (mod 3) sebab 3│45 – 9 atau 3│36
Teorema 3.3
Jika p, q, r, dan m adalah bilangan-bilangan
bulat dan m > 0 sedemikian hingga
p ≡ q (mod m) , maka :
(a) p + r ≡ q + r (mod m)
(b) p – r ≡ q – r (mod m)
(c) pr ≡ qr (mod m)
Bukti :
(a) Diketahui p ≡ q (mod m), maka m│ p –
q . Selanjutnya dapat ditentukan bahwa
p – q = (p + r) – (q + r) , berarti m│p – q berakibat m │ (p + r) – (q + r). Dengan
demikian p + r ≡ q + r (mod m).
(b) Kerjakan, ingat bahwa p – q = (p –
r) – (q – r) .
(c) Diketahui p ≡ q (mod m), maka m│ p – q , dan
menurut teorema keterbagian,
m │ r(p – q) untuk sebarang
bilangan bulat r, dengan demikian m │ pr – qr.
Jadi pr │qr (mod m) .
Contoh 4.4
43│7 (mod 6) ,
maka 43 +5│ 7 + 5 (mod 6) atau 48│12 (mod 6)
27 │6 (mod 7) ,
maka 27 – 4 │6 – 4 (mod 7) atau 23│ 2 (mod 7)
35│3 (mod 8) ,
maka 35.4│3.4 (mod 8) atau 140│12 (mod 8)
Contoh 4.5
Perhatikan bahwa
teorema 3.3.(c) tidak bisa dibalik, artinya
jika pr ≡ qr (mod m), maka
belum tentu
bahwa p ≡ q (mod m), misalnya 24 = 4.6 , 12 = 4.3, dan 24 ≡ 12 (mod 6) atau
4.6 ≡ 4.3 (mod 6), tetapi 6 ≡ 3 (mod 6).
Teorema 3.4
Jika
p, q, r, s, m adalah bilangan-bilangan bulat
dan m > 0 sedemikian
hingga
p ≡ q (mod m) dan r ≡ s (mod m) , maka :
(a) p + r ≡ q + s (mod m)
(b) p – r ≡ q – s (mod m)
(c) pr ≡ qs
(mod m)
Bukti :
(a) p ≡ q (mod m) dan r ≡ s (mod m), maka m│ p – q dan m│ r – s ,
maka tentu ada
bilangan-bilangan bulat t dan u
sehingga tm = p – q dan um = r – s , dan
(p + r) – (q + s) = tm – um = m(t –
u). Dengan demikian m│(p + r) – (q + s), atau
p + r ≡ q + s (mod m).
(b) Kerjakan, perhatikan bahwa (p – r) –
(q – s) = (p – q) – (r – s)
(c) p ≡ q (mod m) dan r ≡ s (mod m),
maka m│ p – q dan m│ r – s , maka tentu ada
bilangan-bilangan bulat t dan u
sehingga tm = p – q dan um = r – s , dan
pr – qs = pr – qr + qr – qs = r(p –
q) + q(r – s) = rtm + qum = m (rt + qu). Dengan
demikian m │ pr – qs , atau pr ≡ qs
(mod m)
Contoh 3.6
36 ≡ 8(mod 7) dan 53 ≡ 4 (mod 7), maka 36 + 53 ≡ 8
+ 4 (mod 7) atau 89 ≡ 12 (mod 7)
72 ≡7 (mod 5) dan 43 ≡ 3 (mod 5), maka 72 – 43
≡ 7 – 3 (mod 5) atau 29 ≡ 4 (mod 5)
15 ≡ 3 (mod 4)
dan 23 ≡ 7 (mod 4) maka 15.23 ≡ 3.7 (mod 4) atau 345 ≡ 21 (mod 4)
Teorema 3.5
(a) Jika p ≡ q (mod m), maka pr ≡ qr
(mod mr)
(b) Jika p ≡ q (mod m) dan d│m , maka p
≡ q (mod d)
Bukti :
(a) p ≡ q (mod
m), maka sesuai definisi 3.1, m│p – q , dan menurut teorema 2.8 dapat
ditentukan bahwa rm│r(p – q) atau mr│pr –
qr , dan berdasarkan definisi 3.1 dapat
ditentukan bahwa pr ≡ qr (mod mr)
(b) p ≡ q (mod
m), maka sesuai definisi 3.1, m│p – q .
Berdasarkan teorema 2.2, d│m dan m│p – q
berakibat d│p – q, dan sesuai dengan
Definisi 3.1, p ≡ q (mod d)
Teorema 3.6
Diketahui
bilangan-bilangan bulat a, p, q, m, dan m > 0.
(a) ap ≡ aq (mod
m) jika dan hanya jika p ≡ q (mod m/(a,m))
(b) p ≡ q (mod m ) dan p ≡ q
(mod m) jika dan hanya jika p ≡ q (mod [m, m])
Bukti :
(a)
()
ap ≡ aq (mod m), maka sesuai definisi
3.1, m│ap – aq, dan sesuai definisi 2.1
ap – aq = tm untuk suatu t Z, berarti a(p
– q) = tm. Karena (a,m)│a dan (a,m)│ m
maka (a/(a,m)(p – q) = (m/(a,m)t, dan
sesuai dengan definisi 2.1, dapat ditentukan
bahwa (m/(a,m)│(a/(a,m)(p – q). Menurut teorema 2.14, (m/(a,m),a/(a,m)) = 1,
dan
menurut teorema 2.15, dari (m/(a,m),a/(a,m)) = 1 dan (m/(a,m)│(a/(a,m)(p
– q) ber-
akibat (m/(a,m)│(p – q). Jadi menurut
definisi 3.1, p ≡ q (mod m/(a,m)) .
()
p ≡ q (mod m/(a,m)), maka menurut
teorema 3.5(a), ap ≡ aq (mod am/(a,m)).
Selan-
jutnya, karena m │am/(a,m), dan ap ≡ aq
(mod am/(a,m)), maka berdasarkan
pada
teorema 3.5 (b) , ap ≡ aq (mod m).
(b) Buktikan !
Contoh 3.7
8p ≡ 8q (mod 6) dan (8,6) = 2, maka p ≡ q (mod 6/2)
atau p ≡ q (mod 3)
12p ≡ 12q (mod 16) dan (12,16) = 4, maka p ≡ q
(mod 16/4) atau p ≡ q (mod 4)
Contoh 3.8
p ≡ q (mod 6)
dan p ≡ q (mod 8), maka p ≡ q (mod [6,8]) atau p ≡ q (mod 24)
p ≡ q (mod 16)
dan p ≡ q (mod 24), maka p ≡ q (mod [16,24]) atau p ≡ q (mod 48)
Tugas dan Latihan
Tugas
Bacalah suatu
buku teori bilangan, dan carilah teorema-teorema yang belum dibuktikan
dalam kegiatan
belajar 1. Selanjutnya buktikan bahwa :
1. Jika p, q, t,
dan m adalah bilangan-bilangan bulat sedemikian hingga t > 0, m > 0
dan
p ≡ q (mod m), maka p≡ q (mod m)
2. Jika p, q Z dan m, m, …, m Z sedemikian
hingga
p ≡ q (mod m) , p ≡ q (mod m) , …, dan p ≡ q (mod m) , maka
p ≡ q (mod [m, m, …, m])
Latihan
1. Diketahui p,
q, m adalah bilangan-bilangan bulat dan m > 0 sedemikian hingga
p ≡ q (mod m)
Buktikan : (p,m) = (q,m)
2. Buktikan
(a) jika p adalah suatu bilangan genap,
maka p≡ 0 (mod 4)
(b) jika p adalah suatu bilangan ganjil,
maka p≡ 1 (mod 4)
3. Buktikan jika
p adalah suatu bilangan ganjil, maka p≡ 1 (mod 8)
4. Carilah sisa
positif terkecil dari 1! + 2! + … + 100!
(a) modulo 2
(b) modulo 12
5. Tunjukkan
bahwa jika n adalah suatu bilangan genap positif, maka:
1 + 2 + 3 + … + (n + 1) ≡ 0 (mod n)
Bagaimana jika n adalah suatu bilangan
ganjil positif ?
6. Dengan
menggunakan induksi matematika, tunjukkan bahwa
4≡ 1 + 3n (mod 9)
jika n adalah suatu bilangan bulat positif.
Rangkuman
Dari materi
Kegiatan Belajar 1 ini, beberapa bagian yang perlu diperhatikan adalah defi-
nisi kongruensi, teorema-teorema kongruensi, dan keterkaitan konsep kongruensi
dengan keterbagian, fpb, dan kpk.
1. Definisi 3.1. p ≡ q (mod m) jika dan
hanya jika m │ p – q
2. Terdapat 6
teorema kongruensi.
Teorema 3. 1 : p ≡ q (mod m) jika dan hanya jika p = q + tm
Teorema
3.2 : Kongruensi modulo m memenuhi sifat-sifat
(a)
refleksif: p ≡ p (mod m)
(b)
simetris : jika p ≡ q (mod m), maka q ≡ p (mod m)
(c)
transitif : jika p ≡ q (mod m) , q ≡ r (mod m), maka p
≡ q (mod m)
Teorema
3.3 : Jika p ≡ q (mod m), maka :
(a)
p + r ≡ q + r (mod m)
(b)
p – r ≡ q – r
(mod m)
(c)
pr ≡ qr (mod m)
Teorema
3.4 : Jika p ≡ q (mod m) dan r ≡ s (mod m), maka :
(a)
p + r ≡ q + s (mod m)
(b)
p – r ≡ q – s (mod m)
(c)
pr ≡ qs (mod m)
Teorema
3.5 : (a) p ≡ q (mod m) , maka pr ≡ qr (mod mr)
(b) p ≡ q (mod
m) dan d │ m , maka p ≡ q (mod d)
Teorema
3.6. : (a) ap ≡ aq (mod m), maka p ≡ q (mod m/(a,m))
(b) p ≡ q (mod
m) dan p ≡ q (mod m) jika dan hanya jika
p ≡ q
(mod [m, m])
Tes Formatif 1
1. Skor 10
Nyatakan dengan B (Benar) atau S (Salah)
(a) Jika p ≡ q (mod 7) , maka 3p ≡ 3q (mod
7)
(b) Jika 2p ≡ 3q (mod 5), maka 10p
≡ 10q (mod 25)
(c) Jika p ≡
q (mod 11), maka 23p – 44 ≡ 12q + 22
(mod 11)
(d) Jika 2p ≡ 2q (mod 5), maka p ≡
q (mod 5)
(e) Jika 4p ≡ 4q (mod 6), maka p ≡
q (mod 6)
(f) Jika 6p ≡ 9q (mod 15), maka 2p ≡ 3q (mod 5)
(g) Jika p ≡ 2q (mod 24), maka p ≡
2q (mod 8)
(h) Jika p ≡ q (mod 7), maka 14p+ 8p – 21 ≡ 15p + 28 (mod 7)
(i) Jika p ≡ q (mod 8) dan p ≡ q
(mod 12), maka p ≡ q (mod 96)
(j) Jika p ≡ q (mod 24) dan p ≡ q
(mod 36), maka p ≡ q (mod 72)
2. Skor 10
(a) Carilah 2 angka terakhir lambang
bilangan decimal dari 28
(b) Carilah 3 angka terakhir lambang
bilangan decimal dari 23
3. Skor 20.
Tunjukkan bahwa 1 + 2 + … + (n – 1)≡ 0 (mod n) jika n adalah suatu bilangan
bulat positif atau jika n adalah habis
dibagi 4.
Apakah pernyataan masih benar jika n adalah
genap tetapi tidak habis dibagi 4 ?
4. Skor 20
Buktikan dengan induksi matematika bahwa 5≡ 1 + 4n (mod 16) jika n adalah suatu
bilangan bulat positif
5. Skor 20
Carilah sisa positif terkecil dari 1! + 2!
+ … + 100!
(a) modulo 7
(b) modulo 25
6. Skor 20
Carilah sisa positif terkecil dari :
(a)
6! modulo 7
(b)
12! modulo 13
(c)
18! modulo 19
(d)
22! modulo 23
Cobalah menebak suatu teorema dari
hasil-hasil jawaban Anda
MODUL 3
KEGIATAN BELAJAR 2
SISTEM RESIDU
Uraian
Sistem residu merupakan topik yang memberikan dasar untuk
mengembangkan pembahasan menuju teorema Euler, dan pada bagian lain terkait
dengan fungsi-fungsi khas (special functions) dalam teori bilangan.
Bagian-bagian dari system residu
meliputi system residu yang lengkap dan system residu yang tereduksi. Sebagai
suatu system, system residu mempunyai sifat-sifat khusus yang terkait dengan
bagaimana membuat system residu, atau mencari contoh yang memenuhi syarat
tertentu.
Definisi 3.2
Suatu himpunan {x, x, … , x} disebut suatu system residu
lengkap modulo m
Jika dan hanya jika untuk setiap y dengan 0 ≤ y < m , ada satu
dan hanya satu x
dengan 1 ≤ i < m , sedemikian hingga
y ≡ x(mod m) atau x≡ y (mod m).
Perhatikan bahwa
indeks dari x yang terakhir adalah m, dan hal ini menunjukkan
bahwa
banyaknya unsur
dalam suatu system residu lengkap modulo m adalah m. Dengan demikian, jika ada
suatu himpunan yang banyaknya unsur kurang dari m atau lebih dari m , maka
himpunan itu tentu bukan merupakan suatu system residu lengkap modulo m.
Selanjutnya,
karena pasangan-pasangan kongruensi antara y dan xadalah tunggal,
maka
tidak ada y yang kongruen
dengan dua unsur x yang berbeda, misalnya
x dan x, dan
tidak ada x yang kongruen
dengan dua nilai y. Dengan demikian,
tidak ada dua unsur x
yang berbeda dan
kongruen, artinya xtidak kongruen xmodulo m jika i j.
Contoh 3.9
1. Himpunan A =
{6, 7, 8, 9} bukan merupakan system residu
lengkap modulo 5 sebab
banyaknya unsur A kurang dari 5
2. Himpunan A =
{6, 7, 8, 9, 10} adalah suatu system residu lengkap modulo 5 sebab un-
tuk setiap y dengan dengan
0 ≤ y < 5 , ada satu dan
hanya satu x dengan 1 ≤ i < 5
sedemikian hingga y ≡ x(mod 5) atau x≡ y (mod 5).
Nilai-nilai y yang memenuhi
0 ≤ y < 5 , adalah y = 0, y = 1, y =
2, y = 3, y = 4, atau
y = 5 . Jika kita selidiki, maka kita
peroleh bahwa :
10 ≡ 0 (mod 5) 8 ≡ 3 (mod m) 6 ≡ 1 (mod m)
9
≡ 4 (mod 5) 7 ≡ 2 (mod m)
Dengan demikian untuk setiap y dengan y = 0, 2, 3, 4, 5 , ada satu dan hanya satu x
dengan x= 6, 7, 8, 9, 10 , sedemikian hingga x≡ y (mod m). Jadi A adalah suatu sis-
tem residu lengkap modulo 5.
3. Himpunan B =
{4, 25, 82, 107} adalah suatu system
residu lengkap modulo 4 sebab
untuk setiap y dengan 0 ≤ y < 4 , ada satu dan hanya satu x dengan 1 ≤ i
< 4
sedemikian hingga y ≡ x(mod 4) atau x≡ y (mod 4).
4
≡ 0 (mod 4)
82 ≡ 2 (mod 4)
25 ≡ 1 (mod 4) 107 ≡ 3 (mod 4)
4. Himpunan C =
{-33, -13, 14, 59, 32, 48, 12} adalah suatu system residu lengkap
mo-
dulo 7 sebab untuk setiap y
dengan 0 ≤ y < 7 , ada
satu dan hanya
satu xdengan
1 ≤ i < 7 sedemikian hingga y ≡ x(mod 7) atau x≡ y (mod 7).
-33 ≡ 0 (mod 7) 59 ≡ 3 (mod 7) 48 ≡ 1 (mod 7)
-13 ≡ 0 (mod 7) 32 ≡ 3 (mod 7) 12 ≡ 1 (mod 7)
14 ≡ 0 (mod 7)
5. Himpunan D =
{10, -5, 27} adalah bukan suatu system residu lengkap modulo 3 sebab
Untuk suatu y = 1 dengan 0 ≤ y < 3 , ada lebih dari satu x(yaitu 10 dan -5)
sehingga
10 ≡ 1 (mod 3) -5 ≡ 1 (mod 3)
6. Algoritma
pembagian menunjukkan bahwa
himpunan bilangan bulat
0, 1, … , m – 1
merupakan suatu system residu lengkap
modulo m, dan disebut sebagai residu
nonne-
gatif terkecil modulo m.
Definisi 3.3
Suatu
himpunan bilangan bulat {x, x, … , x} disebut suatu system residu tere-
duksi modulo m jika dan hanya jika :
(a) (x, m) = 1 , 1 ≤
i < k
(b)
x ≡ x(mod m) untuk setiap
i j
(c) Jika (y,m) = 1, maka y ≡ x(mod m) untuk suatu i = 1, 2, … , k
Contoh 3.10
1. Himpunan
{1,5} adalah suatu system residu tereduksi modulo 6 sebab :
(a) (1,6) = 1 dan (5,6) = 1
(b) 5 ≡ 1 (mod 6)
2. Himpunan {17,
91} adalah suatu system residu tereduksi modulo 6 sebab :
(a) (17,6) = 1 dan (91, 6) = 1
(b) 91 ≡ 17 (mod 6)
Suatu system
residu tereduksi modulo m dapat diperoleh dari system residu lengkap modulo m
dengan membuang unsur-unsur yang tidak relative
prima dengan m. Hal ini dapat dilakukan karena {0, 1, 2, … , m –
1 } adalah suatu system residu yang lengkap modulo m karena untuk
setiap y dengan y = 0, 1, 2, … , m – 1, ada satu dan hanya
satu
x= 0, 1, 2, … , m – 1 sehingga y ≡ x(mod m) . Keadaan y ≡ x(mod m) selalu dapat terjadi dengan memilih y = 0 dan x= 0, y = 1 dan x= 1, … , y = m – 1 dan x= m – 1 .
Karena
unsur-unsur {0, 1, 2, … , m – 1} memenuhi tidak ada sepasang yang kongruen,
maka setelah unsur-unsur yang tidak relative prima dengan m dibuang, yang
tertinggal adalah unsur-unsur yang relative prima dengan m dan tidak ada
sepasang yang kongruen.
Dengan demikian
unsur-unsur yang tertinggal memenuhi definisi 3.2
Contoh 3.11
1. Himpunan A =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah suatu sistem residu lengkap modulo 8.
Unsur-unsur A yang tidak
relative prima dengan 8 adalah
0, 2, 4, dan 6 karena
(0,8) = 8 1, (2,8) = 2 1, (4,8) = 4 1, dan (6,8) = 2 1. Misalkan B
adalah him-
punan dari unsur-unsur yang tertinggal,
maka B = {1, 3, 5, 7}, dan B merupakan suatu
sistem residu tereduksi modulo 8 karena
memenuhi definisi 3.2
2. Himpunan A =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} adalah
suatu system residu lengkap modulo 20. Jika
unsur-unsur A yang tidak relative prima
dengan 20 dibuang, yaitu 0, 2, 4, 5, 6, 8,
10, 12, 14, 15, 16, dan 18 , maka unsur-unsur
yang tertinggal adalah 1, 3, 7, 9, 11, 13,
17, dan 19, dan B = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}
merupakan suatu system residu tereduksi
modulo 20.
Defini 3.4
Ditentukan m adalah suatu bilangan bulat
positif.
Banyaknya residu di dalam suatu system
residu tereduksi modulo m disebut fungsi
-Euler dari m, dan dinyatakan dengan (m).
Contoh 3.12
(2) = 1 ,
diperoleh dari unsur 1
(3) = 2 ,
diperoleh dari unsur-unsur 1 dan 2
(4) = 2 ,
diperoleh dari unsur-unsur 1 dan 3
(5) = 4 ,
diperoleh dari unsur-unsur 1, 2, 3, dan 4
(16) = 8, diperoleh dari unsur-unsur 1, 3, 5, 7, 9,
11, 13, dan 15
(27) = 18, diperoleh dari unsur-unsur 1, 2, 4, 5, 7,
8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23,
25, dan 26
(p) = p – 1
jika p adalah suatu bilangan prima
Perhatikan bahwa
himpunan {1,2,3,4} merupakan suatu system
residu tereduksi modu- lo 5. Sekarang, coba Anda selidiki,
jika masing-masing unsur himpunan dikalikan dikalikan dengan suatu bilangan
yang relative prima dengan 5, misalnya 2, 3, atau 4, se- hingga diperoleh
himpunan yang lain, maka apakah himpunan-himpunan yang lain terse- but
merupakan system-sistem residu yang tereduksi modulo 5 ?
Teorema 3.7
Ditentukan (a,m) = 1
Jika {x, x, … , x} adalah suatu system residu modulo m yang lengkap
atau tere-
duksi, maka {ax, ax, … , ax} juga
merupakan suatu system
residu modulo m
yang lengkap atau tereduksi.
Bukti :
Ditentukan bahwa {x, x, … , x} adalah suatu
system residu modulo
m yang
lengkap, maka xtidak kongruen xmodulo m jika x x. Harus dibuktikan bahwa
axtidak kongruen axmodulo m jika i j
Misalkan dari unsur-unsur {ax, ax, … , ax} terdapat i j sehingga berlaku
hu-
bungan ax≡ ax(mod m).
Karena (a,m) = 1 dan ax≡ ax(mod m), maka menurut teorema 3.6 (a), dapat diten-
tukan
bahwa x≡ x(mod m), bertentangan dengan ketentuan {x, x, … , x} me-
rupakan suatu system residu lengkap modulo m. Jadi tentu ax tidak kongruen ax
modulo
m.
Selanjutnya
buktikan jika {x, x, … , x} adalah suatu
system residu modulo m
yang
tereduksi.
Contoh 3.13
(a)
Himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan suatu
system residu lengkap modulo 6. Jika masing-masing unsur A dikalikan
dengan 5, yang mana (5,6) = 1,
dan
setelah dikalikan dimasukkan sebagai unsur himpunan B, maka dapat ditentu-
kan bahwa B = {0, 5, 10,
15, 20, 25}. Himpunan B merupakan suatu system residu yang lengkap modulo 6
sebab setiap unsur B kongruen dengan satu dan ha-
nya
satu y {0, 1, 2, 3, 4,
5}, yaitu :
0 ≡ 0 (mod 6) 10 ≡ 4 (mod 6) 20 ≡ 2 (mod 6)
5 ≡ 5 (mod 6) 15 ≡ 3 (mod 6) 25 ≡ 1 (mod 6)
(b) Himpunan A = {1, 5, 7, 11} adalah
merupakan suatu system residu tereduksi mo-
dulo 12. Jika masing-masing unsur A
dikalikan dengan 17 dengan
(17,12) = 1,
dan setelah dikalikan dimasukkan
sebagai unsur himpunan B, maka
dapat diten-
tukan bahwa
B = {17, 85, 119, 187}. Himpunan B merupakan suatu system residu tereduksi
modulo 12 sebab setiap unsur B relative prima dengan 12, dan tidak ada sepasang
unsur B yang kongruen, yaitu :
(17,12) = (85,12) = (119,12) = (187,12) = 1
17 ≡
85 (mod 12) 17 ≡ 119
(mod 12) 17 ≡ 187 (mod 12)
85 ≡
119 (mod 12) 85 ≡ 187 (mod
12) 119 ≡ 187 (mod 12)
Teorema 3.8 (Teorema Euler)
Jika a, m Z dan m > 0
sehingga (a,m) = 1, maka a≡ 1 (mod m)
Bukti :
Misalkan bahwa {x, x, … , x} adalah suatu system residu tereduksi modulo m dengan
unsur-unsur bilangan bulat positif kurang dari m dan relative prima dengan m,
maka menurut teorema 3.7, karena (a,m) = 1, maka {ax, ax, … , ax} juga merupakan suatu system residu tereduksi modulo
m. Dengan demikian, residu-residu positif terkecil dari ax, ax, … , axadalah bilangan-bilangan bulat yang terdapat pada x, x, … , x dengan urutan
tertentu. Akibatnya kita dapat mengalikan semua suku dari masing-masing system
residu tereduksi, sehingga diperoleh :
ax, ax, … , ax≡ x, x, … , x (mod m)
Dengan
demikian dapat ditentukan bahwa :
a x. x … x ≡ x. x … x(mod m)
Selanjutnya, {x, x, … , x} adalah suatu system residu tereduksi modulo m, maka menurut definisi 3.3, berlaku (x, m) = 1. Berdasarkan
teorema 2.16, karena
(x, m) = 1, yaitu (x,m) = ( x, m) = … (x, m) = 1, maka dapat ditentukan bahwa (x. x … x, m) = 1.
Dari dua
keadaan :
a x. x … x ≡ x. x … x(mod m) , dan
(x. x … x, m) = 1
dapat ditentukan
berdasarkan teorema 3.6 (a) bahwa :
a≡ 1 (mod m)
Kita dapat menggunakan teorema Euler untuk mencari inversi
modulo m.
Jika a dan m adalah relative prima, maka dapat ditentukan
bahwa :
a≡ 1 (mod m)
Dengan demikian :
a = a. a ≡ 1 (mod m)
Jadi a adalah inversi
dari a modulo m.
Contoh 3.14
Carilah dua digit terakhir lambang bilangan desimal dari 23
Soal ini dapat
dijawab dengan menyatakan maknanya dalam bentuk lain, yaitu sama dengan mencari
x jika 23 ≡ x (mod 100).
Kemudian bentuk 23 ≡ x (mod 100)
dapat dipecah menjadi 23 ≡ x (mod 4) dan
23 ≡ x (mod 25).
(a) mencari x
dari 23 ≡ x (mod 4).
23 ≡ 3 (mod 4),
maka 23≡ 9 (mod 4) ≡ 1 (mod 4), sehingga 23 = (23)
Dengan demikian 23 = (23)≡ 1(mod 4), atau x ≡ 1 (mod 4)
(b) mencari x dari 23 ≡ x (mod 25)
23 ≡ -2(mod 25),
maka 23≡ 4(mod 25), 234
≡ 16(mod 25), 238 ≡ 6(mod 25),
2316 ≡ 11(mod 25), 2332 ≡ -4(mod 25), 2364 ≡ 16(mod 25), 23128
≡ 6(mod 25), dan
23256
≡ 11(mod 25)
Dengan demikian 23500
= 23256.23128.2364.2332.2316.234
≡ 11.6.16.(-4).11.16 (mod 25)
≡
(-4).6.(-4).6 (mod 25) ≡ 576 (mod 25) ≡ 1, (mod 25), yaitu
x ≡ 1
(mod 25)
Dari hasil (a)
dan (b), yaitu x ≡ 1 (mod 4) dan x ≡ 1 (mod 25), maka berdasarkan pada
teorema 3.6 (b) ,
x ≡ 1 (mod [4,25]) x ≡ 1 (mod 100)
Jadi 23 ≡ 1 (mod 100) ,
berarti dua digit terakhir lambang bilangan decimal dari 23
adalah 01.
Contoh 3.15
Tunjukkan jika
(n,7) = 1, n N, maka 7 │ n7
– n
Jawab : Karena
(n,7) = 1, maka menurut teorema Euler, n ≡ 1 (mod 7).
Selanjutnya , sehingga
diperoleh n6 ≡ 1 (mod 6) , dan sesuai dengan
definisi 3.1, 7│ n6 –
1 , dan akibatnya, sesuai dengan teorema 2.1, 7│n( n6 – 1)
atau 7│n7 – 1
Contoh 3.16
Jika bulan ini
adalah bulan Mei, maka carilah 23943 bulan lagi adalah bulan apa
Jawab :
Permasalahan ini dapat diganti dengan mencari x jika 23943 ≡ x (mod
12).
Karena (239,12) = 1, maka menurut
teorema Euler, 239≡ 1 (mod 12).
Selanjutnya , sehingga diperoleh 2394 ≡1 (mod 12).
23943 = (2394)10.2393
≡ 1.2393 (mod 12) ≡ (-1)(-1)(-1) (mod 12) ≡ 11 (mod 12)
Jadi x = 11, dengan demikian 23943
bulan lagi adalah bulan April.
Contoh 3.16
Kongruensi
linier ax ≡ b (mod m) dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Euler
sebagai berikut :
ax ≡ b (mod m)
a-1.ax ≡ a-1 .b (mod m)
x ≡ a-1 .b (mod m)
Penyelesian 7x ≡
3 (mod 12) adalah x ≡ 7.3 (mod 12) ≡ 74-1.3 (mod 12) ≡ 73.3 (mod 12)
≡ 21 (mod 12) ≡ 9 (mod 12).
Teorema 3.9. Teorema
Kecil Fermat
Jika p adalah suatu bilangan prima dan
p tidak membagi a, maka ap-1 ≡ 1 (mod p)
Bukti :
Karena p adalah suatu bilangan prima dan p tidak membagi
a, maka (p,a) = 1 (jika
(p,a) 1 yaitu p dan a tidak relative prima, maka p dan a mempunyai factor selain 1
dan p,
bertentangan dengan sifat p sebagai bilangan prima).
Selanjutnya,
karena (p,a) = 1, maka menurut teorema 3.8, a≡ 1 (mod p).
p adalah suatu
bilangan prima, berarti dari bilangan-bilangan bulat :
0, 1, 2,
3, … , p – 1
yang tidak
relative prima dengan p hanya 0 ≡ p (mod p), sehingga :
{1, 2,
3, … , p – 1 }
merupakan system
residu tereduksi modulo dengan (p – 1) unsure, dengan demikian:
Karena dan a≡ 1 (mod p),
maka a≡ 1 (mod p)
Contoh 3.17
Carilah suatu x jika 2250 ≡ x (mod 7) dan 0 ≤ x
< 7
Jawab :
Karena 7 adalah
bilangan prima, (2,7) = 1, dan , maka :
2≡ 1 (mod 7)
26 ≡ 1 (mod 7)
2250
= (26)41.24 ≡ 1.24 (mod 7) ≡ 16
(mod 7) ≡2 (mod 7)
Jadi : x = 2
Contoh 3.18
Carilah satu digit terakhir lambang bilangan basis 10 dari:
(a) 2500
(b) 7175
Jawab :
Untuk mencari
digit terakhir dari lambang bilangan basis 10, permasalahan dapat
dipandang
sebagai mencari x jika y ≡ x (mod 10). Karena 2.5 = 10 dan (2,5) = 1,
maka y ≡ x (mod
10) dapat dinyatakan sebagai :
y ≡ x
(mod 2) dan y ≡ x (mod 5)
(a) 2 ≡ 0 (mod
2), maka 2500 ≡ 0, 2, 4, 6, 8, … (mod 2)
(5) = 4 dan (2,5) = 1, maka 24 ≡ 1(mod
5), sehingga
2500
= (24)125 . 1 (mod 5)
≡ 1, 6, 11, 16, 21, … (mod 5)
Dengan
demikian 2500 ≡ 6 (mod 2) dan 2500 ≡ 6 (mod 5), berarti
2500 ≡ 6 (mod 10). Satu digit
terakhir lambang bilangan basis 10 dari 2500 ada-
lah 6.
(b) 7 ≡ 1(mod 2), maka 7175
≡ 1, 3, 5, … (mod 2)
(5) = 4 dan (7,5) = 1, maka 74 ≡ 1 (mod 5),
sehingga
7175 = (74)43.73
≡ 73 (mod 5) ≡ 2.2.2 (mod 5)
≡ 8 (mod 5) ≡ 3 (mod 5)
≡ 3, 8, 13, 18, … (mod 5).
Dengan demikian 7175 ≡ 3 (mod 2) dan 7175
≡ 3 (mod 5), berarti
7175 ≡ 3 (mod 10. Satu digit terakhir lambing
bilangan basis 10 dari 7175 ada-
lah 3.
Teorema 3.10
Jika (a,m) = 1, maka
hubungan ax ≡ b (mod m) mempunyai selesaian
x = a-1 .b + tm
Bukti :
Dari hubungan ax ≡ b (mod m) , ruas kiri dan kanan perlu
dikalikan dengan
suatu factor sehingga
koeffisien a menjadi 1. Pilihan factor adalah a-1
sebab sesuai dengan teorema
Euler, a-1.a
= a ≡ 1 (mod m).
ax ≡ b (mod m)
a-1 .a
x ≡ a-1 .
b (mod m)
a x ≡ a-1 .
b (mod m)
x ≡ a-1 .
b (mod m)
Karena tm ≡ 0 (mod m) untuk
setiap bilangan bulat t, maka :
x ≡ ≡ a-1 .
b + tm (mod m)
Jadi x = a-1 .b + tm adalah selesaian ax ≡ b (mod m)
Teorema 3.11. Teorema Wilson
Jika p adalah suatu bilangan
prima, maka (p – 1)! ≡ -1 (mod p)
Bukti :
Untuk p = 2, kita dapat menentukan
bahwa (p – 1)! = 1! = 1 ≡ -1 (mod 2),
dengan demikian teorema
benar untuk p = 2.
Untuk p > 2, berdasarkan
teorema 3.9 dan teorema 3.10, jika ax ≡
1 (mod p),
dan (a,p) = 1, maka x ≡ a-1 , a dan x disebut saling inverse modulo
p.
Dengan demikian, setiap
bilangan a yang memenuhi 1 ≤ a ≤ p – 1,
tentu ada a*
yang memenuhi 1 ≤ a*
≤ p – 1, sehingga a.a* ≡ 1
(mod p).
Perhatikan perkalian
bilangan-bilangan:
2.3. … ,(p – 3)(p –
2)
yang dapat
dipasang-pasangkan ke dalam (p – 3)/2 pasangan, masing-masing
pasangan mempunyai hasil
kali sama dengan 1 modulo p. Hal ini dapat dilaku-
kan karena masing-masing bilangan relative prima
dengan p, yaitu (a,p) = 1,
sehingga masing-masing bilangan mempunyai
inverse. Akibatnya :
2.3. … ,(p – 3)(p –
2) ≡ 1 (mod p)
sehingga :
(p – 1)! = 1.2.3. …
.(p – 3)(p – 2)(p – 1) ≡ 1.1.(p – 1) (mod p)
≡ p – 1 (mod p)
(p – 1)! ≡ – 1 (mod p)
Contoh 3.19
(7 – 1)! = 6! = 1.2.3.4.5.6 = 1.(2.4).(3.5).6 = 1.8.15.6 ≡ 1.1.1.6 (mod
7) ≡ – 1(mod 7)
(13 – 1)! = 12! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 = 1.(2.7).(3.9).(4.10).(5.8).(6.11).12
= 1.14.27.40.40.66.12
≡ 1.1.1.1.1.1.12 (mod 13) ≡ – 1 (mod 13)
Teorema 3.13
Jika n adalah suatu bilangan
bulat positif sehingga (n – 1)! ≡ – 1
(mod n),
maka n adalah suatu bilangan
prima.
Buktikan !
Teorema 3.12 dan teorema 3.13 memberikan petunjuk kepada kita untuk
mengguna-
kan teorema-teorema itu dalam pengujian keprimaan suatu bilangan.
Contoh 3.20
(15 – 1)! = 14! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14 =
1.2.(15).4.6.7.8.9.10.11.12.13.14
≡ 0 (mod 15)
(15 – 1)! = 14! tidak kongruen dengan – 1 (mod 15), maka 15 bukan suatu
bilangan
prima.
Tugas dan Latihan
Tugas
Carilah suatu buku teori bilangan yang membahas tentang Metode (p – 1) Pollard
Jelaskan Metode Pollard itu untuk apa, dan uraikan secara lengkap.
Berikan paling sedikit satu contoh penggunaan Metode (p – 1) Pollard
Latihan
1. Carilah satu contoh system residu
tereduksi modulo 16 yang
mempunyai dua
unsure negative.
2. Jelaskan mengapa S = {-9, -33, 37, 67} bukan merupakan system residu
tereduksi
modulo 10.
3. Carilah satu contoh system residu A yang lengkap modulo 12.
Tambah setiap un-
sur dalam system residu dengan
sebarang bilangan kelipatan 12, sehingga
dipero-
leh himpunan B. Selidiki apakah
B merupakan system residu lengkap modulo 12.
4. Carilah sisanya jika 1135 dibagi 13.
5. Jika hari ini hari Rabu, maka carilah hari apa 97101 hari
lagi.
6. Carilah dua digit terakhir lambang bilangan desimal dari 39125
7. Carilah suatu bilangan bulat positif terkecil x jika 61! ≡ x – 1 (mod
71)
8. Carilah suatu bilangan bulat positif terkecil x jika 7x ≡ 9 (mod 20)
Rangkuman
Secara keseluruhan, bagian-bagian utama yang perlu diperhatikan dalam
Kegiatan Belajar 2 adalah Definisi dan Teorema, yaitu:
1. Definisi 3.2 tentang system
residu yang lengkap modulo m
2. Definisi 3.3 tentang system
residu tereduksi modulo m
3. Definisi 3.4 tentang fungsi
-Euler
5. Teorema-Teorema :
3.7. Jika (a,m) = 1 sedemikian
hingga {x, x, … , x} adalah suatu system residu
yang lengkap atau
tereduksi, maka {ax, ax, … , ax} juga merupakan
sis-
tem residu yang lengkap
atau tereduksi modulo m.
3.8. Teorema Euler
Jika a, m Z dan m > 0
sehingga (a,m) = 1, maka a≡ 1 (mod m)
3.9. Teorema Kecil Fermat
Jika p adalah
suatu bilangan prima
dan p tidak membagi a, maka
ap-1 ≡ 1
(mod p)
3.10. Jika (a,m) = 1, maka
hubungan ax ≡ b (mod m) mempunyai selesaian
x = a-1 .b
+ tm
3.11.Teorema Wilson
Jika p adalah suatu
bilangan prima, maka (p – 1)! ≡ -1 (mod p)
Tes Formatif 2
1. Skor 10
Carilah suatu x jika 5x ≡ 7
(mod 23)
2. Skor 10
Tunjukkan jika n adalah suatu
bilangan komposit dan n 4 , maka
(n – 1) ! ≡ 0 (mod n)
3. Skor 10
Tunjukkan jika p adalah suatu
bilangan prima ganjil, maka
2(p – 3)! ≡ – 1 (mod p)
4. Skor 10
Tunjukkan jika n adalah suatu
bilangan ganjil dan n tidak membagi tiga, maka
n2 ≡ 1 (mod 24)
5. Skor 10
Tunjukkan jika p dan q adalah
bilangan-bilangan prima yang berbeda, maka
pq-1 + qp-1
≡ 1 (mod pq)
6. Skor 10
Tunjukkan jika p adalah suatu
bilangan prima ganjil, maka
1232 … (p
– 4)2(p – 2)2 ≡ (-1)(p+1)/2(mod p)
7. Skor 10
Tunjukkan jika p adalah suatu
bilangan prima ganjil dan p ≡ 3(mod 4), maka
((p – 1)/2)! ≡ 1(mod p)
8. Skor 20
Carilah bilangan-bilangan bulat
positif n jika n4 + 4n adalah bilangan prima
9. Skor 10
Tunjukkan jika p adalah suatu
bilangan prima dan a adalah suatu bilangan bulat,
maka p │ (ap + (p –
1)!a)
Daftar Kepustakaan
Niven, I., Zuckerman, H.S., & Montgomery, H.L. (1995). An Introduction to The The-
Ory of Numbers. New York
: John Wiley & Sons.
Redmond, D. (1996). Number Theory. New York
: Marcel Dekker.
Rosen, K.H.
(1993). Elementary Number Theory and Its
Applications. Massachusetts:
Addison-Wesley.